Énergie cinétique

Les véhicules des montagnes russes atteignent leur maximum d'énergie cinétique au bas de leur parcours. Lorsqu'ils commencent à monter, l'énergie cinétique commence à être transformée en énergie potentielle. La somme de l'énergie cinétique et potentielle du système reste constante, si on néglige les pertes (relativement faibles) dues aux frottements

L'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement réel. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail nécessaire pour faire passer le dit corps du repos à son mouvement de translation ou de rotation.

Sommaire

1 Historique
2 Conventions
3 Définitions
- 3.1 Cas d'un point matériel
- 3.2 Cas d'un système de points
4 Unité
5 Théorème de König
- 5.1 Enoncé
- 5.2 Application à un solide
  - 5.2.1 Cas général : axe instantané de rotation
  - 5.2.2 Cas de la rotation autour d'un axe fixe
6 En mécanique relativiste
7 Théorème de l’énergie cinétique
- 7.1 Énoncé
- 7.2 Démonstration
8 Théorème de la puissance cinétique
9 L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique
10 Notes et références
11 Voir aussi

Historique

Article détaillé : vis viva.

Gottfried Leibniz, s'opposant ainsi à Descartes, qui estimait que la quantité de mouvement se conservait toujours, développa l'idée de la « force vive » (vis viva), à laquelle il attribuait la valeur $mv^2$ . La force vive est donc le double de l'énergie cinétique.

« Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la force (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la force vive qui se conserve… » ^[1]

Conventions

L'énergie cinétique est généralement notée $E_c$ ou $E_k$ , l'indice c faisant référence au mot « cinétique » et l'indice k à son équivalent anglais, « kinetic ».

Définitions

Dans les cas non relativistes (c'est-à-dire lorsque les vitesses sont petites comparées à la vitesse de la lumière dans le vide), l'énergie cinétique $E_c$ s'exprime ainsi:

$E_c = \frac{1}{2}\, m\, v^2$

Cas d'un point matériel

Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être facilement mise en évidence pour un point matériel, corps considéré comme ponctuel de masse m constante.

En effet, la relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

$m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\sum \vec{F}$ , avec $\sum \vec{F}$ somme des forces appliquées au point matériel de masse m (y compris les "forces d'inertie" dans le cas d'un référentiel non galiléen).

En prenant le produit scalaire, membre à membre, par la vitesse $\vec{v}$ du corps, il vient :

$m\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\left (\sum \vec{F}\right ) \cdot \vec{v}$ , or $\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}v^{2}\right )$ , il vient ainsi : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}mv^{2}\right )=\sum \left (\vec{F}\cdot \vec{v}\right )$ .

On met en évidence dans le membre de gauche la quantité $E_{c}\equiv \frac{1}{2}mv^{2}$ appelée énergie cinétique du point matériel, dont la variation est égale à la somme des puissances $\vec{F}\cdot \vec{v}$ des forces appliquées au corps (théorème de l'énergie cinétique, forme "instantanée").

On peut obtenir une expression plus générale en considérant que l'on a donc $\int \mathrm{d}\left (\frac{1}{2}mv^{2}\right )=\int m\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}$ , puisque $d(v^{2})=2\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}$ . En introduisant la variation infinitésimale de la quantité de mouvement du corps, $\mathrm{d}\vec{p}\equiv m\mathrm{d}\vec{v}$ , il vient au final l'expression :

$E_c = \int \vec{v} \cdot \mathrm{d}\vec{p}$ .

Cas d'un système de points

Dans le cas d'un corps que l'on ne peut considérer ponctuel, il est possible de l'assimiler à un système (d'une infinité) de points matériels $M_i$ de masses $m_i$ avec $M=\sum_{i} m_{i}\qquad$ masse totale du corps.

L'énergie cinétique $E_{c}$ du système de points peut être alors simplement définie comme la somme des énergies cinétiques associées aux points matériels constituant le système : $E_{c}=\sum_{i} E_{c,i} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}$ , (1). Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas.

Remarque : en considérant la limite des milieux continus on a $E_{c}=\int_{(S)} \frac{1}{2}\rho(M)v_{M}^{2}\,\mathrm{d}\tau\$ , M étant un point courant du système (S).

Unité

L'unité légale est le joule. Les calculs s'effectuent avec les masses en kg et les vitesses en $m\cdot s^{-1}$ .

Théorème de König

L'expression (1) n'est guère utilisable directement, bien que générale. Il est possible de la réécrire sous une autre forme, dont l'interprétation physique est plus aisée.

Enoncé

Ce théorème se démontre en faisant intervenir le référentiel barycentrique (R^*) lié au centre d'inertie G du système, et en mouvement de translation par rapport au référentiel d'étude (R). Il s'écrit:

$E_{c}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+E_{c}^{*}$ .

L'énergie cinétique d'un système est alors la somme de deux termes: l'énergie cinétique du centre de masse de (S) affectée de sa masse totale M, $\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}$ , et l'énergie cinétique propre du système dans (R^*), $E_{c}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}$ .

Application à un solide

Un solide est un système de points tels que les distances entre deux points quelconques de (S) sont constantes. Il s'agit d'une idéalisation d'un solide réel, considéré comme absolument rigide.

Cas général : axe instantané de rotation

Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de masse G dans (R) et un mouvement de rotation autour d'un axe instantané (Δ) dans le référentiel barycentrique (R^*).

Plus précisément, pour un solide on peut écrire le champ des vitesses dans le référentiel barycentrique (R^*) sous la forme $\vec{v_{i}^{*}}=\vec{\omega}\times \vec{GM_{i}}$ , $\vec{\omega}$ étant le vecteur rotation instantané du solide dans (R^*) [ou (R), puisque les deux référentiels sont en translation]. Son énergie cinétique propre $E_{k}^{*}$ s'exprime alors

$E_{k}^{*}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\cdot \left (\vec{\omega}\times \vec{GM_{i}}\right )=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot \left (\sum_{i}\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )=\frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega}$ ,

puisque $\vec{L_{G}}=\vec{L^{*}}=\sum_{i} \vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}$ , moment cinétique du solide par rapport à G, égal au moment cinétique propre $\vec{L^{*}}$ (voir théorèmes de König).

D'après le théorème de König, l’énergie cinétique totale d’un solide s'écrit donc ainsi:

$E_{k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+\frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega}$ ,

que l'on peut considérer comme la somme d’une énergie cinétique "de translation" et d’une énergie cinétique de rotation $E_{r}\equiv \frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega}$ , aussi appelée énergie cinétique angulaire.

Cas de la rotation autour d'un axe fixe

Si, de surcroît, il y a rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans (R), le moment cinétique par rapport à G du solide s'écrit $\vec{L_{G}}=I_{\Delta}\vec{\omega}$ , où $I_{\Delta}$ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation (Δ). Son énergie cinétique de rotation se mettra ainsi sous la forme:

$E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I_{\Delta} \cdot\omega^2$ .

En mécanique relativiste

Dans la théorie de la relativité d’Einstein (utilisée principalement pour les vitesses proches de la vitesse de la lumière, mais valable pour toutes vitesses), l’énergie cinétique est :

$E_k = m c^2 ( \gamma - 1) = \gamma m c^2 - m c^2$

Avec : $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ ; (le facteur relativiste)

$E_k = \gamma m c^2 - m c^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right ) m c^2$

E_k : l’énergie cinétique du corps (dans le référentiel considéré) ;
v : la vitesse du corps (dans le référentiel considéré) ;
m : sa masse au repos (dans son référentiel) ;
c : la vitesse de la lumière dans le vide (dans tout référentiel inertiel) ;
γmc² : l’énergie totale du corps (dans le référentiel considéré) ;
mc²' est l’énergie au repos (90 pétajoules par kilogramme) exprimée en unités conventionnelles.

La théorie de la relativité affirme que l’énergie cinétique d’un objet (ayant une masse « au repos^[2]» non nulle) tend vers l’infini quand sa vitesse s’approche de la vitesse de la lumière et que, par conséquent, il est impossible d’accélérer un objet jusqu’à cette vitesse.

Pour une vitesse v petite devant c ( $v \ll c$ ), le développement limité de l’énergie cinétique relativiste est :

$E_k \approx \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8}\frac{m v^4}{c^2} + \dots$

On retrouve ainsi au premier ordre l'énergie cinétique newtonienne. Par exemple, pour un objet d'un kilogramme allant à la vitesse de 10 km/s, la différence entre énergie cinétique relativiste et énergie cinétique newtonienne est d'environ 0,04 J (pour une énergie cinétique newtonienne de 50 MJ !). Cette différence est de 400 J à 100 km/s.

Quand la gravité est faible et que l’objet se déplace à des vitesses très inférieures à la vitesse de la lumière (c’est le cas de la plupart des phénomènes observés sur Terre), la formule de la mécanique newtonienne est une excellente approximation de l’énergie cinétique relativiste.

Théorème de l’énergie cinétique

Ce théorème, valable uniquement dans le cadre de la mécanique newtonienne, permet de lier l’énergie cinétique d’un système au travail des forces auxquelles celui-ci est soumis.

Énoncé

Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux W des forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide considéré :

$\Delta E_{k_{AB}}=E_{k_B}-E_{k_A}=\sum {W_{F_{ext / int}}^{AB}}$

où E_kA et E_kB sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B.

Démonstration

D’après la 2^e loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le solide par la relation suivante :

$m\cdot\vec{a}=\vec{F}$

Pendant une durée dt, le solide se déplace de $\mathrm{d}\vec{u}=\vec{v}\cdot \mathrm{d}t$ où $\vec{v}$ est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :

$\delta W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{u}=m\cdot\vec{a}\cdot\mathrm{d}\vec{u}=m\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{v}\cdot \mathrm{d}t=m\cdot\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}$

Si le solide parcourt un chemin d’un point A à un point B, alors le travail total s’obtient en faisant une intégrale le long du chemin :

$W=\int_A^{B}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{u}=\int_{v_A}^{v_B}m\cdot\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}$

$\vec{v}\cdot\vec{dv}$ étant une différentielle totale, l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et peut donc être obtenue explicitement :

$W=m\cdot\int_{v_A}^{v_B}\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v} = m\cdot\left (\int_{v_{xA}}^{v_{xB}}v_x\cdot \mathrm{d}v_x+\int_{v_{yA}}^{v_{yB}}v_y\cdot \mathrm{d}v_y+\int_{v_{zA}}^{v_{zB}}v_z\cdot \mathrm{d}v_z\right )=m\cdot\left (\left[ \frac{v_x^2}{2} \right]_{v_{xA}}^{v_{xB}}+\left[ \frac{v_y^2}{2} \right]_{v_{yA}}^{v_{yB}}+\left[ \frac{v_z^2}{2} \right]_{v_{zA}}^{v_{zB}}\right )$

$W=m\cdot\left (\frac{v_{xB}^2-v_{xA}^2}{2}+\frac{v_{yB}^2-v_{yA}^2}{2}+\frac{v_{zB}^2-v_{zA}^2}{2}\right ) =\frac{1}{2}m\cdot\left[\left (v_{xB}^2+v_{yB}^2+v_{zB}^2\right ) - \left (v_{xA}^2+v_{yA}^2+v_{zA}^2\right )\right]$

$W=\frac{1}{2}m\cdot\left (\left\|\vec{v_B}\right\|^2 - \left\|\vec{v_A}\right\|^2\right )=\frac{1}{2}m\cdot\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) =\frac{1}{2}m\cdot v_B^2 - \frac{1}{2}m\cdot v_A^2=E_{c_B}-E_{c_A}$

Théorème de la puissance cinétique

Dans un référentiel galiléen, la puissance des forces s'appliquant au point M est égale à la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique.

$P = \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t}\,$

L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique

L’énergie thermique est une forme d’énergie due à l’énergie cinétique totale des molécules et des atomes qui forment la matière. La relation entre la chaleur, la température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique et de la thermodynamique.

De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par le phénomène de rayonnement du corps noir.

La chaleur, qui représente un échange d’énergie thermique, est aussi analogue à un travail dans le sens où elle représente une variation de l’énergie interne du système. L’énergie représentée par la chaleur fait directement référence à l’énergie associée à l’agitation moléculaire. La conservation de la chaleur et de l’énergie mécanique est l’objet du premier principe de la thermodynamique.

Articles détaillés : Constante de Boltzmann et Capacité thermique massique.

Notes et références

↑ Leibniz, Specimen dynamicum, P. Wiener, Leibniz Selection, Scribner, 1951,New York
↑ « Au repos » signifie dans son référentiel.

Voir aussi

[0] Leibniz, Specimen dynamicum, P. Wiener, Leibniz Selection, Scribner, 1951,New York

[1] « Au repos » signifie dans son référentiel.

[1]

[2]

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