Énergie mécanique

L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique. C'est une quantité conservée lorsqu'aucune force extérieure ou force non conservative (le frottement ou encore un choc) n'intervient dans le système et s'avère, pour cela, pratique à utiliser.

L'énergie mécanique n'est pas un invariant galiléen et dépend donc du référentiel choisi.

Expression

L'énergie mécanique s'exprime généralement :

$E_m = E_c + E_p$

où :

$E_m$ est l'énergie mécanique ;
$E_c$ est l'énergie cinétique (formule : 1/2mv² avec m la masse du solide (en kg) et v sa vitesse (en mètres par seconde)). Exemple : 1/2 × 50 (kg) × 10² = 2500 J ;
$E_p$ est l'énergie potentielle ou l'énergie de position (formule de l'énergie potentielle de pesanteur : m × g × h avec m la masse du solide (en kg), g l'accélération de la pesanteur sur Terre (9.81 m/s²) et h la différence d'altitude en mètre (altitude d'arrivée - altitude de départ)). Exemple : 50 (kg) × 9,81 (m/s²) × 10 (mètres) = 4905 J.

Solide ponctuel

Pour un solide ponctuel M l'énergie potentielle mécanique est donnée par sa position et l'énergie cinétique par sa vitesse. On a donc

$E_m = \frac{1}{2} mv^2 + V(M)$

où :

$m$ est la masse du solide
$v$ est la vitesse du centre de gravité ;
$V$ est le potentiel au niveau du point $M$

Solide étendu non déformable

Pour un solide indéformable non ponctuel, il convient d'ajouter l'énergie cinétique de rotation. L'énergie potentielle est donnée, dans le cas d'un potentiel gravitationnel, par la position du centre de gravité G.

$E_m = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} J \Omega^2 + mV(G)$

où, toutes notations égales par ailleurs

$J$ est le moment d'inertie du solide par rapport à son axe de rotation ;
$\Omega$ est sa vitesse angulaire de rotation.
$V$ est le potentiel gravitationnel dans lequel se déplace la masse.

Solide déformable

Pour un solide déformable, interviennent des termes de déformation (tension, torsion, contraction) tant dans l'énergie cinétique que l'énergie potentielle mécanique.

Théorème de l'énergie mécanique

En dérivant l'expression de l'énergie mécanique on obtient :

$dE_m = dE_c + dE_p$

Or d'après le Théorème de l'énergie cinétique, on a :

$dE_c= \delta W(F_c)+ \delta W(F_{nc})$

avec $\delta W(F_c)$ le travail des forces conservatives et $\delta W(F_{nc})$ le travail des forces non conservatives.

et on a aussi : $dE_p=-\delta W(F_c)$ .

D'où le résultat :

$dE_m = \delta W(F_{nc})$

On a ainsi le théorème de la puissance mécanique, la dérivée de l'énergie mécanique est égale à la puissance des forces non conservatives :

$\frac {dE_m}{dt} = P_{nc}$

Ainsi si toutes les forces sont conservatives, l'énergie mécanique se conserve.

Conservation de l’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un corps en chute libre soumis exclusivement à un champ de pesanteur uniforme et éventuellement à une vitesse initiale et des forces ne travaillant pas se conserve.

En effet, soit $m$ la masse du corps en kilogrammes, $v_1$ sa vitesse à l’instant $t_1$ en mètres par seconde, $h_1$ sa hauteur par rapport à la référence des énergies potentielles de pesanteur et $g$ la valeur du champ de pesanteur en mètres par seconde carrée. Son énergie potentielle de pesanteur $E_{pp_1}$ exprimée en joules vaut :

$E_{pp_1} = m\cdot g\cdot h_1$

Et son énergie cinétique $E_{c_1}$ en joules :

$E_{c_1} = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2$

Si l’on suppose que l’objet se retrouve en chute libre pour une durée de $t$ secondes, en n’étant soumis à aucune force extérieure travaillant (frottements…), sa vitesse à l’instant $t_2$ vaudra en mètres par seconde $v_2 = v_1 + g\cdot t$ . L’objet aura alors parcouru une distance $d$ de $v_1\cdot t + \dfrac12\cdot g\cdot t^2$ mètres. Sa hauteur par rapport à la référence sera donc (en mètres) $h_2 = h_1 - d = h_1 - v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2$ . On en déduit donc que son énergie potentielle de pesanteur vaut en joules :

$E_{pp_2} = m\cdot g\cdot h_2 = m\cdot g\cdot \left(h_1 - v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right)$

Et son énergie cinétique en joules :

$E_{c_2} = \dfrac12\cdot m\cdot v_2^2 = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1+g\cdot t\right)^2$

Soient $E_{m_1}$ et $E_{m_2}$ l’énergie potentielle du corps respectivement à l’instant $t_1$ et à l’instant $t_2$ en joules ; et $\Delta E_m$ le gain d’énergie mécanique entre $t_1$ et $t_2$ . On a :

$\Delta E_m = E_{m_2} - E_{m_1} = E_{c_2} + E_{pp_2} - E_{c_1} - E_{pp_1}$

En remplaçant, on trouve :

$\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1+ g\cdot t\right)^2 + m\cdot g\cdot \left(h_1-v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right)-\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2-m\cdot g\cdot h_1$

On développe :

$\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1^2 + 2\cdot v_1\cdot g\cdot t+ g^2\cdot t^2\right) + m\cdot g\cdot \left(h_1-v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right) -\dfrac12\cdot m\cdot v^2-m\cdot g\cdot h_1$

$\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 + m\cdot v_1\cdot g\cdot t + \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 + m\cdot g \cdot h_1 - m\cdot g\cdot v_1\cdot t - \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2-\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2-m\cdot g\cdot h_1$

Et si l’on remet les termes dans l’ordre :

$\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 -\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 + m\cdot v_1\cdot g\cdot t - m\cdot v_1\cdot g\cdot t + \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 - \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 + m\cdot g \cdot h_1 -m\cdot g\cdot h_1$

Soit $\Delta E_m = 0$ . Il n’y a pas de variation de l’énergie mécanique ; l’énergie mécanique reste donc la même à tout moment de la chute.

Conservation

L'énergie mécanique d'un système soumis à des forces conservatives, c'est-à-dire dérivant d'un potentiel, est conservée.

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Solide déformable

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