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En logique classique, dire qu'une proposition P implique logiquement une proposition Q, signifie qu'on ne peut avoir à la fois P vraie et Q fausse. Formellement cela s'écrit P ⇒ Q.

En logique intuitionniste, P ⇒ Q signifie que si l'on a une démonstration de P alors on a une démonstration de Q.

Le symbole « ⇒ » représente le connecteur binaire appelé « implication ».

L'implication joue un rôle fondamental dans la formalisation du raisonnement logique appelé modus ponens, dont un exemple souvent cité est « Tout homme est mortel, or Socrate est un homme, donc Socrate est mortel ». On peut formuler l'affirmation « Tout homme est mortel » sous la forme « si x est un homme, alors x est (nécessairement) mortel », et en faisant apparaître le symbole de l'implication « x est un homme ⇒ x est mortel ».

Implication et modus ponens

Le modus ponens est une règle primitive du raisonnement logique que l'on retrouve dès la logique des stoïciens, et sous une forme ou sous une autre dans la plupart des systèmes de déduction des logiques formelles.

On l'écrit formellement (suivant le contexte) :

et on peut lire : « de la formule A et de l'implication A ⇒ B on déduit la formule B », ou encore « A et A ⇒ B donc B », c'est-à-dire que l'on affirme A et A ⇒ B, et on en déduit que l'on peut affirmer B.

En revanche, si A n'est pas affirmée, le modus ponens ne s'applique pas. Dans ce cas, on ne peut ni affirmer ni infirmer B.

Historique et applications de l'implication

L'implication était connue dès la Grèce antique, notamment par les stoïciens sous une forme telle que : « Du vrai suit le vrai... Du faux suit le faux... Du faux suit le vrai... Mais du vrai, le faux ne peut s'ensuivre »^[1].

Aujourd'hui l'implication est très courante, voir omniprésente explicitement ou implicitement dans le raisonnement mathématique. On peut la reconnaître par exemple dans les démonstrations utilisant des postulats. Si en postulant A on arrive à démontrer B, alors l'implication A ⇒ B est valide.

Propriétés

La table de vérité^[2] de l’implication est donnée par le tableau :

Cette table de vérité indique notamment que : soient deux propositions P et Q telles que P soit fausse, et Q quelconque (i.e. : vraie ou fausse), alors la proposition "P implique Q" est toujours vraie (cf. table de vérité). Cette propriété faisant partie de la définition de l'implication ne peut être démontrée, néanmoins il est possible de la justifier. En effet, en posant non-P=S et non-Q=R, alors P implique Q équivaut à R implique S, et la contraposée de la propriété supra devient : "soient deux proposition R et S telles que S soit vraie, et R quelconque (i.e. : vraie ou fausse), alors la proposition "R implique S" est toujours vraie. Ceci provient simplement du fait que si S est vraie, alors "si R est vraie, alors S est vraie" est vraie aussi (de fait, puisque S est vraie de toute façon, elle l'est a fortiori si R est vraie), ce qui est exactement "R implique S". La "re-contra-position" de cette proposition nous dit que si une proposition P est fausse, alors quelle que soit la proposition Q, "P implique Q" est toujours vraie.

Exemple : montrons alors que l'ensemble vide ∅ est inclus dans tout ensemble E. Dire que ∅⊂E équivaut à dire que quel que soit x∈∅, x∈E, or quel que soit x, par définition de ∅, x∉∅, donc la première proposition "x∈∅" est fausse, et en appliquant le résultat sur les implications logiques justifié ci-dessus, le résultat - et ce quel qu'il soit - est toujours vrai, i.e. : x∈E. D'où : ∅⊂E.

Soient P, Q et R trois propositions.

• (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q) (définition)
• (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) s'écrit aussi P ⇔ Q ; c'est l'équivalence logique.
• P ⇒ P (l’implication est réflexive)
• ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) (transitivité de l'implication ou règle du modus barbara)
• (¬(P ⇒ Q)) ⇔ (P ∧ ¬Q) (négation d'une implication)
• ((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q (règle du modus ponens ou principe du syllogisme)
• ((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P (règle du modus tollens)
• (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P) (règle de contraposition : une implication est équivalente à sa contraposée)

• (P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)) (loi de réciprocité)
• ((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ R (disjonction des cas)

Non associativité de l'implication

Si l'implication était associative, les formules :

• ((P ⇒ Q) ⇒ R)
• (P ⇒ (Q ⇒ R))

devraient prendre les mêmes valeurs de vérité pour P, Q et R. Or en prenant P fausse, Q vraie ou fausse et R fausse, on a, d'une part, (P ⇒ Q) ⇒ R fausse et, d'autre part, P ⇒ (Q ⇒ R) vraie.

En effet,

• puisque P est fausse, la proposition P ⇒ Q est vraie et puisque R est fausse, la proposition (P ⇒ Q) ⇒ R est fausse ;

• puisque P est fausse, l’implication P ⇒ (Q ⇒ R) est vraie.

Différence avec l'équivalence

Voici un exemple de relation d'implication : « il fait beau » ⇒ « je suis heureux ». Cette proposition est vraie si je suis toujours heureux quand il fait beau.

À ne pas confondre avec la relation d'équivalence qui elle implique que je ne sois heureux QUE lorsqu'il fait beau. Cette confusion est à l'origine du sophisme de l'affirmation du conséquent.

• La relation d'implication représente le SI (⇒) une condition suffisante dans un sens, une condition nécessaire dans l'autre : dans A ⇒ B, A est une condition suffisante de B, et B est une condition nécessaire de A
  — et —
• la relation d'équivalence représente le SI ET SEULEMENT SI (⇔), une condition nécessaire et suffisante ;
  A ⇔ B équivaut à (A ⇒ B) ET (B ⇒ A)

voir aussi : Propriété contraposée

Implication et causalité

En dépit de sa notation (⇒) qui pourrait laisser suggérer une relation de cause à effet, l'implication logique n'a pas, en logique classique, de caractère séquentiel comme l'ont une cause et un effet. Le temps ne joue pas de rôle et il faut donc le définir explicitement si l'on veut qu'il joue un rôle (voir logique temporelle). En revanche, c'est pour intégrer ce genre de préoccupation que les logiciens ont introduit des logiques constructives, comme la logique intuitionniste ou la logique linéaire.

Notes et références

Voir aussi

• Implication réciproque
• Implication stricte et Paradoxe du coiffeur sur des aspects contre-intuitifs de l'implication logique.
• Déduction naturelle
• Équivalence logique
• Logique mathématique, logique classique, logique intuitionniste, logique linéaire
• Modus ponens
• Modus tollens

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