Endomorphisme linéaire
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En mathématiques, un endomorphisme linéaire ou endomorphisme d'espace vectoriel est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.

L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel E est habituellement noté End(E) ou \mathcal{L}(E).

L'ensemble \mathcal{L}(E,F) des applications linéaires d'un K-espace-vectoriel dans un autre est un K-espace vectoriel muni de la loi d'addition des fonctions et de la multiplication externe par un scalaire de K. En particulier \left(\mathcal{L}(E), +, .\right) est un K-espace vectoriel.

Sommaire

Propriétés des endomorphismes

Nous ne rappellerons pas ici toutes les propriétés des applications linéaires et qui sont donc aussi vérifiées par les endomorphismes linéaires.

Avec les lois d'espace vectoriel + et ., et plus la loi de composition des applications, \mathcal{L}(E) est une algèbre non commutative.

Signalons la formule du binôme qui est vérifiée lorsque deux endomorphismes commutent.

\forall (f,g) \in \mathcal{L}(E)^{2} tel que f et g commutent. Alors (f+g)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}f^{k}\circ g^{n-k}}

Les endomorphismes en dimension finie

Lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie, l'étude d'un endomorphisme se ramène immédiatement à celle de sa matrice par rapport à une base donnée. Souvent la même base de E est considérée au départ qu'à l'arrivée. La matrice obtenue est une matrice carrée.

Diagonalisation

En dimension finie, la diagonalisation d'un endomorphisme consiste à trouver une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme s'écrit sous une forme diagonale. De manière générale, tous les endormorphismes ne sont pas diagonalisables, il est possible dans certains cas tout au plus de les trigonaliser. L'intérêt de la diagonalisation est de pouvoir étudier facilement un endomorphisme, de calculer aisément ses puissances nèmes, de rechercher ses racines carrées etc.

Voir aussi

Endomorphisme

v · d · m
Algèbre linéaire générale
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme de Minkowski • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
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Endomorphisme linéaire . Wikipédia


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Endomorphisme linéaire


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