a lieu, ou bien, de manière équivalente :
converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F(x) soit continu.
, en tant que processus indexé par x, converge 
vers un pont brownien B(F(x)).
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Fonction de répartition empirique
En statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.
Soit 
un échantillon de variables iid à valeurs dans 
avec pour fonction de répartition F(x).
La fonction de distribution empirique 
basée sur l'échantillon est une fonction en escalier définie par
où I(A) est la fonction indicatrice de l'événement A.
Pour un x fixé, la variable 
est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre p = F(x). Par conséquent, la variable 
est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne nF(x) et pour variance nF(x)(1 − F(x)).
Propriétés asymptotiques
- Par la loi forte des grands nombres,
-
presque sûrement pour un x fixé.
- En d'autres termes,
est un estimateur non-biaisé de la fonction de répartition F(x).
- Par le théorème de la limite centrale,
converge en loi vers une loi normale N(0, F(x)(1 - F(x))) pour un x fixé.
- Le théorème de Berry–Esseen (en) procure le taux de convergence.
- Par le théorème de Glivenko-Cantelli, presque sûrement, la convergence uniforme
a lieu, ou bien, de manière équivalente :
- L'inégalité de Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (en) procure le taux de convergence.
- Kolmogorov a montré que
-
converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F(x) soit continu.
- Le test de Kolmogorov-Smirnov de goodness-of-fit est basé sur ce fait.
- Par le théorème de Donsker,
-
, en tant que processus indexé par x, converge faiblement dans 
vers un pont brownien B(F(x)).
Bibliographie
- (en) Galen R. Shorack et Jon A. Wellner, Empirical Processes With Applications to Statistics, Society for Industrial & Applied Mathematics, 4 septembre 2009, 998 p. (ISBN 0898716845 et 978-0898716849)
- van der Vaart, A.W. and Wellner, J.A. (1996) "Weak Convergence and Empirical Processes", Springer. ISBN 0-387-94640-3.
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