.
.![\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]](http://upload.wikimedia.org/math/0/8/a/08afc1b3685447f4fb7149c56ed8fd3f.png)
![B_n(x) = -\Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right]](http://upload.wikimedia.org/math/f/b/0/fb05d128593f55353729151788e95b0b.png)
![\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{\mathrm dt}{t}=
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right)
\left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]\,](http://upload.wikimedia.org/math/a/f/4/af4724fca5ad1f93bf440462d56c63a5.png)
![\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=
2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s)
=2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s)\,](http://upload.wikimedia.org/math/e/1/b/e1ba7ba3d5f1646239a63cd390c48661.png)
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Fonction zêta de Hurwitz
En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta. Elle est définie comme suit :
.
Elle s'étend par prolongement analytique à tout nombre complexe s différent de 1, et à tout nombre complexe q qui n'est pas entier négatif ou zéro.
Quand 
, ceci coïncide avec la fonction zêta de Riemann.
Sommaire |
Relation avec les fonctions L de Dirichlet
En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires, à coefficients constants, de 
où q = r/Q et r = 1, 2, ..., Q. Ceci veut dire que les fonctions zêta de Hurwitz pour un nombre rationnel q ont des propriétés analytiques qui sont étroitement liées à la classe des fonctions L.
Précisément, soit 
un caractère de Dirichlet mod Q. Alors, nous pouvons écrire la fonction L de Dirichlet sous la forme
.
Formule de Hurwitz
La formule de Hurwitz est le théorème qui énonce
où
est une représentation de zêta qui est valide pour 
et 
. Ici, 
est la fonction polylogarithme.
Relation avec les polynômes de Bernoulli
La fonction 
définie ci-dessus généralise les polynômes de Bernoulli :
où 
représente la partie réelle de z. De manière alternative,
Relation avec la fonction polygamma
La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :
Relation avec fonction transcendante de Lerch
La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :
et ainsi
Équation fonctionnelle
L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche -et droit- du plan complexe. Pour les nombres entiers 
,
reste valable pour toutes les valeurs de 
.
Série de Taylor
La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :
Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :
Transformation de Fourier
La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.
Relation avec la fonction thêta de Jacobi
Si 
est la fonction thêta de Jacobi, alors
reste valable pour 
et z complexe, mais non pour un nombre entier. Pour z=n un entier, ceci se simplifie en
où 
ici est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction basée sur z tient compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la Fonction δ de Dirac pour z lorsque 
.
Bien que la fonction zêta de Hurwitz est vue par les mathématiciens comme relevant de la plus pure discipline des mathématiques, la théorie des nombres, elle apparaît aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz zeta function » (voir la liste des auteurs)
- (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976 (ISBN 0-387-90163-9), chap. 12
- (en) Milton Abramowitz et Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Ney York, Dover Publications, 1964 (ISBN 0-486-61272-4), § 6.4.10
- (en) Djurdje Cvijovic and Jacek Klinowski, Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments, dans Math. Comp., vol. 68, 1999, p. 1623-1630
- (en) Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta
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