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Nombre de Liouville
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la propriété suivante :
Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra que tous les nombres vérifiant la propriété ci-dessus sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.
Sommaire |
Irrationalité des nombres de Liouville
Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville alors, pour tout réel μ, il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ : tous les (pn, qn) pour n ≥ μ (ils forment bien un ensemble infini puisque la suite des |x – pn/qn| est à valeurs non nulles et converge vers 0).
Or un critère élémentaire d'irrationalité assure que pour tout réel x, s'il existe un réel μ > 1 et une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ, alors x est irrationnel.
Cela s'applique aux nombres de Liouville, qui sont donc irrationnels.
Constante de Liouville
La constante de Liouville est le réel défini par
C'est un nombre de Liouville. En effet, si l'on définit pn et qn par
alors, pour tout entier positif n, on obtient
La constante de Liouville est le premier exemple de nombre réel dont on a prouvé la transcendance. La fraction continue est l'outil auquel pensait Liouville pour construire des nombres de Liouville et donc transcendants. L'article associé présente un autre exemple de cette nature, illustrant la méthode qu'il préconisait.
Mesure d'irrationalité d'un réel
La mesure d'irrationalité d'un réel x – ou « sa constante de Liouville-Roth »[1] – mesure la manière d'approcher x par des rationnels.
Définition — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne supérieure[2] de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ.
Les nombres de Liouville sont donc les réels dont la mesure d'irrationalité est infinie.
La mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1 (c'est ce qui nous a permis de montrer l'irrationalité des nombres de Liouville) et celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2[1] (cf. § « Approximation par les rationnels » de l'article « Nombre irrationnel »).
On trouve dans les ouvrages de légères variantes : certains auteurs[1] prennent (ce qui revient au même) la borne inférieure de l'ensemble des μ pour lesquels il existe n'existe au contraire qu'un nombre fini de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ. Certains[3],[4],[5],[6] parlent des mesures d'irrationalité : ce sont tous les nombres supérieurs ou égaux à la mesure d'irrationalité définie ici. Enfin, certains[2],[3],[4] ne la définissent que si x est un nombre irrationnel, ce qui leur évite de mentionner la minoration stricte de |x – p/q| par 0. Outre ces nuances, on trouve une définition différente[4],[5],[6] mais équivalente[réf. souhaitée] :
Définition équivalente — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne inférieure de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une constante A > 0 telle que, pour tout rationnel p/q ≠ x avec q > 0, on ait : |x – p/q| ≥ A/qμ.
Preuve de l'équivalence
Notons respectivement X et Y les bornes de la première et de la seconde définition.
- Soient μ > Y et ε > 0. Il existe alors A > 0 tel que
- Réciproquement, soit μ > X. Il n'existe qu'un nombre fini de couples (p1, q1), … , (pm, qm) vérifiant 0 < |x – pk/qk| < 1/qkμ. En posant
Transcendance des nombres de Liouville
Article détaillé : Théorème de Liouville (approximation diophantienne).
En 1844, Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas seulement irrationnels, mais sont toujours transcendants. Il utilisa ce résultat pour fournir le premier exemple explicite de nombre transcendant : la constante de Liouville définie plus haut.
La transcendance des nombres de Liouville est un corollaire immédiat (cf. ci-dessous) du théorème suivant, démontré dans l'article détaillé.
Théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne[7] — Si α est un nombre réel algébrique de degré d > 1, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous entiers q > 0 et p, on ait : |α – p/q| ≥ A/qd.
La mesure d'irrationalité d'un tel α est donc inférieure ou égale à d (le théorème de Roth montre qu'elle est en fait égale à 2). Les nombres de Liouville étant de mesure d'irrationalité infinie, ils sont par conséquent transcendants.
Certains réels sont transcendants sans être de Liouville. Par exemple[1], la mesure d'irrationalité de e est égale à 2 et celle de π est inférieure[8] à 7,61.
Théorème d'Erdős
Paul Erdős a démontré[9] que tout nombre réel pouvait s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville.
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville number » (voir la liste des auteurs)
- (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, CUP, 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6) [lire en ligne], p. 171-172
- (en) R. Avanzi et F. Sica, « Scalar Multiplication on Koblitz Curves Using Double Bases », dans Phong Q. Nguyen, Progress in Cryptology: VIETCRYPT 2006, Springer, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (no 4341), 2006 (ISBN 978-3-540-68799-3) [lire en ligne], p. 134
- (en) Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer, 2000 (ISBN 978-0-38798911-2) [lire en ligne], p. 298
- (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), 2010 (ISBN 978-9-81430746-8) [lire en ligne], p. 141
- (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP, 2004 (ISBN 978-0-521-82329-6) [lire en ligne], p. 27-28
- (en) Chaohua Jia et Kohji Matsumoto, Analytic Number Theory, Springer, 2002 (ISBN 978-1-40200545-9) [lire en ligne], p. 360
- Il existe d'autres théorèmes de Liouville.
- (en) V. Kh. Salikhov, « On the irrationality measure of π », Uspekhi Mat. Nauk., vol. 63, no 3(381), 2008, p. 163-164
- (en) P. Erdős, « Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers », Michigan Math. J., vol. 9, no 1, 1962, p. 59-60 [texte intégral]
Liens externes
- Article du 13 mai 1844 de Liouville sur les nombres transcendants (accès à l'article et analyse de Michel Mendès France) sur Bibnum
- (en) The Beginning of Transcendental Numbers par Michael Filaseta, de l'université de Caroline du Sud
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