Nombre rationnel

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers (souvent appelés fractions) sont souvent notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On appelle a le numérateur et b le dénominateur.

Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2=2/4=3/6=etc. Mais il existe une forme privilégiée, quand a et b n'ont pas de diviseurs communs autre que 1 (ils sont premiers entre eux). Tout nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. On parle alors de fraction irréductible.

Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel.

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou ℚ (baptisé ainsi par Peano en 1895^[1] d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). De par sa définition :

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n}\,|\, (m,n) \in \mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\}) \right\}$

où ℤ est l'anneau des entiers relatifs.

Développement décimal

Comme tous les réels, les rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. Cette séquence est appelée : « période du développement décimal illimité ».

Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’. En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent.

Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le système décimal nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessous de la séquence périodique. Il est aussi possible de mettre un point au-dessus de chaque chiffre de la période, mais cette notation est beaucoup moins utilisée.

Lorsqu'une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que d'une manière rigoureuse :

$1 = 1,\underline{0}... = 0,\underline{9}... = 0,99999...$

$\frac{1}{3} = 0,\underline{3}... = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=1}^{x} \frac{3}{10^n} \right)$

Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ce critère est néanmoins mal commode pour évaluer la rationalité d'un nombre. Un deuxième critère est donnée par la fraction continue. Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationalité de e la base du logarithme népérien et de π.

Ainsi, le nombre $0,12\,122\,1222\,12222...\,$ (où l'on a des séquences de ’2’ de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.

Arithmétique des rationnels

Article détaillé : Opérations sur les fractions.

Soient a, b, c, d quatre entiers, avec b et d non nuls.

Les deux nombres rationnels représentés par a/b et c/d sont égaux si et seulement si ad=bc.

L'addition est donnée par :

$\frac a b+\frac c d=\frac{ad+bc}{bd}.$

On démontre que cette égalité ne dépend pas du choix des représentants "a/b" et "c/d".

La multiplication par :

$\frac a b\times\frac c d=\frac{ac}{bd}.$

L'opposé et l'inverse par

$-\left(\frac a b\right)=\frac{-a}b=\frac a{-b}\quad\mbox{et}\quad\left(\frac a b\right)^{-1}=\frac b a\mbox{ si }a\ne0.$

On en déduit que le quotient est donné par:

$\left(\frac a b\right)/\left(\frac c d\right)=\frac{ad}{bc}.$

Fraction égyptienne

Article détaillé : Fraction égyptienne.

Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer comme somme d'inverses distincts d'entiers naturels. Par exemple, on a :

$\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}.$

Construction formelle

Article détaillé : Construction des nombres rationnels.

On peut voir un nombre rationnel comme la classe d'équivalence d'une paire ordonnée d'entiers, par la relation d'équivalence suivante:

$\forall \left(a,b\right) \in\Z\times(\Z\setminus\left\{0\right\}),\forall \left(c,d\right) \in\Z\times(\Z\setminus\left\{0\right\}),\ (a,b)\,\mathcal{R}\,(c,d) \Longleftrightarrow ad=bc.$

On note alors $\Q=\big(\Z\times(\Z\setminus\left\{0\right\})\big)/\mathcal{R}$ , c'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels est le quotient de $\Z\times(\Z\setminus\left\{0\right\})$ par la relation d'équivalence.

On peut ensuite injecter les entiers dans les rationnels, et définir des lois de composition interne pour se donner une structure de corps.

Cette construction est valable à partir de n'importe quel anneau intègre, on parle alors de corps des fractions.

Propriétés

La dénombrabilité des rationnels strictement positifs

L'ensemble $\Q$ , munis des lois d'addition et de multiplication données plus haut, forme un corps commutatif, le corps des fractions des entiers $\Z$ .

Les rationnels sont le plus petit corps de caractéristique nulle. Tout autre corps de caractéristique nulle contient une copie de $\Q$ .

La clôture algébrique de $\Q$ , c'est-à-dire le corps des racines des polynômes à coefficients rationnels est l'ensemble des nombres algébriques.

$\Q$ est dense dans $\R$ par construction même de $\R$ . Plus « concrètement », pour tout réel $x$ , la suite $u$ définie par

$\forall n\in\N,\qquad u_n=\frac{E(10^n \times x)}{10^n}$

(où $E$ est la fonction partie entière) est à valeurs rationnelles (et même décimales) et tend vers $x$ , puisque

$0\le x-u_n<10^{-n}$ .

L'ensemble des rationnels est dénombrable. Or par l'argument de la diagonale de Cantor, nous savons que le corps des nombres réels ne l'est pas. On dit alors que les nombres réels sont presque tous irrationnels, au sens de la mesure de Lebesgue. On dit que $\Q$ est un ensemble négligeable. La fonction f suivante, bijective de $\N$ dans $\Q^+$ , donne tous les nombres rationnels positifs ou nuls, avec le numérateur et le dénominateur toujours premiers entre eux par construction. Elle est inspirée des suites de Farey ou de la suite diatomique de Stern :

$\begin{cases} f(0) = 0 \\ f(2n) = \frac1{f(n)+1} \\ f(2n+1) = f(n)+1. \end{cases}$

Elle s'inverse par la fonction g suivante :

$\begin{cases} g(0) = 0 \\ g\left(\dfrac pq\right)=\begin{cases} 2g(\frac{q-p}{p}), & \text{si }q>p \\ 2g(\frac{p-q}{q})+1, & \text{si }q \le p. \end{cases} \end{cases}$

Topologie

Muni de la topologie de l'ordre usuelle, $\mathbb{Q}$ est un corps topologique. Cela signifie que les opérations arithmétiques sont continues. L'addition est de plus compatible avec l'ordre (on parle de groupe ordonné).

Limitations

Par contre, $\mathbb{Q}$ ne possède pas la propriété de la borne supérieure : l'ensemble des nombres rationnels x tels que x² < 2 est majoré mais ne possède pas de plus petit majorant.

D'autre part, $\mathbb{Q}$ n'est pas un espace complet : il existe des suites de Cauchy de nombres rationnels qui ne convergent pas vers un nombre rationnel, comme la suite (x_n) définie par récurrence suivant la méthode de Héron :

x₀ = 1
pour tout n entier naturel non nul : x_n+1 = ^x_n ⁄₂ + ¹⁄_{x_n}.

Ces deux limitations montrent notamment que des nombres essentiels en mathématiques, comme √2 ou π, ne sont pas rationnels. Cela conduit à compléter $\mathbb{Q}$ en construisant un ensemble plus grand, qui possède la propriété de la borne supérieure et dans lequel toute suite de Cauchy converge : l'ensemble des nombres réels.

Article détaillé : Construction des nombres réels.

Nombre p-adique

On peut munir $\mathbb{Q}$ d'une autre métrique.

Soit $p$ un nombre premier. On pose :

pour tout entier non nul $a$ , $|a|_p = p^{-n},$ où $p^n$ est la plus grande puissance de $p$ divisant $a$ ,
$|0|_p = 0$ .

La fonction ainsi définie est complètement multiplicative, ce qui permet de poser sans ambiguïté, pour tout nombre rationnel $a/b$ :

$\left|\frac ab\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}$ .

Alors $d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p$ définit un espace métrique.

L'espace métrique $\left(\Q,d_p\right)$ n'est pas complet, et sa complétion est le corps des nombres p-adiques $\Q_p$ . Le théorème d'Ostrowski montre que toute valeur absolue non triviale sur $\Q$ est topologiquement équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à une valeur absolue p-adique.

Références

↑ Baudet, Jean C. (2005), Mathématique et Vérité. Une philosophie du nombre, Paris, éd. L'Harmattan, coll. « Ouverture philosophique », ISBN 978-2-296-39195-6, partie « Mais c'est quoi, un nombre ? », chap. « Les ensembles de nombres », note 11, p. 124 : « L'ensemble des nombres rationnels est généralement désigné par la lettre Q. [...] Notation proposée par Giuseppe Peano en 1895, de l'italien quoziente (quotient). »

Voir aussi

Arbre de Stern-Brocot

Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) · Entier relatif ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) · Nombre décimal ( $\scriptstyle\mathbb{D}$ ) · Nombre rationnel ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) · Nombre réel ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) · Nombre complexe ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ )
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