Approche élémentaire des fonctions

Liste de fonctions numériques Glossaire des fonctions

Vocabulaire élémentaire

fonction – expression – variable – valeur – ensemble de départ – ensemble d'arrivée – graphe – domaine de définition – image – antécédent – préimage – restriction – composition – réciproque

Étude de fonction 

domaine de définition – périodicité – parité – continuité – dérivabilité – dérivée (seconde) – variations – extremum – zéros – signe – limites – comparaison asymptotique

Courbe représentative 

tangentes – asymptotes – branches paraboliques – concavité – points d'inflexion – position relative – quadrant – pente

Dérivation 

règle du produit – fonctions composées – dérivation itérée (formule de Faà di Bruno) – théorème de Glaeser

Calcul de limites 

opérations (forme indéterminée) – composition – théorème des gendarmes – théorème de la limite monotone – développement asymptotique (équivalent – négligeable) – règle de L'Hôpital

Intégration 

primitive – intégrabilité – intégrale – théorème fondamental de l'analyse – intégration par parties – changement de variables (règles de Bioche)

Corollaires de la propriété de la borne supérieure 

théorème des valeurs intermédiaires – de la bijection – de la moyenne

théorème des bornes – théorème de Rolle – théorème des accroissements finis – théorème de Darboux – théorème de la moyenne de Cauchy

Approximation locale 

approximation linéaire – théorème de Taylor – développement limité

Régularité (par morceaux)

Lipschitz – condition de Hölder – absolue continuité – continuité uniforme – variation bornée – semi-continuité

Suites numériques

Vocabulaire élémentaire 

suite – terme – rang – sous-suite – relation de récurrence – raison

Exemples

arithmétiques – géométriques – arithmético-géométriques – récurrentes linéaires (Fibonacci – Tribonacci – Perrin – Padovan – Pell – Lucas) – logistiques

Propriétés 

suites adjacentes (moyenne arithmético-géométrique) – équivalentes (formule de Stirling)

suite bornée – suite de Cauchy – suite périodique

Convergence

limite – limites inférieure et supérieure – lemme de Cesàro – théorème de Stolz-Cesàro – lemme de l'escalier

valeur d'adhérence – théorème de Bolzano-Weierstrass

Applications 

développement décimal – fraction continue – produit infini – produit infini de Cantor

Vitesse de convergence des suites 

convergence linéaire – convergence quadratique

Séries numériques

Exemples 

séries géométriques – harmonique – série des inverses des nombres premiers – séries de Riemann – Bertrand – Grandi – série alternée des entiers

série double

Propriétés 

série alternée (critère de convergence) – série télescopique

Convergence

convergence absolue – convergence inconditionnelle

règle de Cauchy – règle de d'Alembert – règle de Raabe-Duhamel

Autres résultats 

inégalité de Carleman – théorème de réarrangement de Riemann – lemme de Kronecker

Méthodes de calcul 

produit de Cauchy – sommation par parties – sommation de Borel

Applications 

série d'Eisenstein – Engel – Lambert – zêta rationnelle

Fonctions de plusieurs variables

dérivée partielle – dérivée directionnelle – différentielle – point critique (point col) – matrice hessienne – gradient – ligne de niveau – multiplicateur de Lagrange

théorème de Sard – Monge – Schwarz – Rademacher – lemme de Hadamard

théorème d'Euler (fonction homogène)

laplacien – fonction harmonique (sphérique – ellipsoïdale)

intégrale curviligne – lemme d'estimation – intégrale multiple – intégrale de surface – théorème de Green

Analyse vectorielle

divergence – théorème de flux-divergence – rotationnel – théorème du gradient – théorème du rotationnel – inégalité des accroissements finis – Nabla – matrice jacobienne – champ de vecteurs (conservatif – solénoïdal – irrotationnel) – champ scalaire – théorème de Helmholtz-Hodge

Géométrie différentielle

jet – singularité – théorème de Stokes – théorème du redressement – courant – flot – flot géodésique – théorème d'inversion locale – théorème des fonctions implicites

difféomorphisme

forme différentielle – théorème de Poincaré

Suites de fonctions

convergence simple – convergence uniforme – convergence en moyenne – convergence en moyenne quadratique

théorème de la limite simple de Baire – équicontinuité – théorèmes de Dini

Approximation de fonction (théorie de l'approximation) 

théorème d'approximation de Stone-Weierstrass – approximation de Bernstein – théorème de Müntz – théorème de Chudnovsky – théorème de Bernstein

Séries de fonctions

convergence normale – série de Taylor – série de Fourier

série trigonométrique – inégalité de Bernstein

Série entière 

rayon de convergence – fonction analytique – théorème d'Abel – série hypergéométrique – série lacunaire

Analyse harmonique

série de Fourier – égalité de Parseval – théorème de Fejér – théorème de Dirichlet – noyau de Dirichlet – Fejér – somme de Fejér – polynôme trigonométrique

phénomène de Gibbs – approximation sigma – densité spectrale

théorème de Riemann-Lebesgue – théorème de Plancherel – théorème de Riesz-Fischer – théorème de Balian-Low lemme de Calderón-Zygmund – théorème de Balian-Low – formule sommatoire de Poisson

Démonstration de problèmes

problème de Dirichlet –

Équations différentielles ordinaires

Types d'équations différentielles ordinaires

autonome – linéaire (d'ordre 1 – d'ordre 2) – d'ordre 1 à variables séparées

Exemples 

équation différentielle de Bernoulli – Clairaut – Euler – Lagrange – Liénard – Mathieu – Newton – Riccati – Sturm-Liouville – Verhulst

Résolution

condition initiale – problème de Cauchy – théorème de Cauchy-Lipschitz

méthode d'Euler – variation des constantes – quadrature – transformée de Laplace – wronskien:théorème de Wielandt – théorème de Bohr-Mollerup – théorème de Hölder – théorème d'inversion de Lagrange

équation aux q-différences

solution de forme fermée – séparation des variables

équation différentielle homogène (d'ordre n – d'ordre 1)

théorème de Hartman-Grobman

théorème de Poincaré-Bendixson – théorie de Sturm-Liouville

Équations aux dérivées partielles

théorème de Cauchy-Kowalevski – lemme de Borel – principe du maximum – théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

équation de Laplace – équation d'Euler-Lagrange – critère de Nagumo – équation biharmonique – équation d'onde – équation de Helmholtz – équation de Korteweg et de Vries – équation de Liénard – équation de Mathieu – équation de Navier – équation de Poisson – équation de Schrödinger semi-linéaire – équation de la chaleur (noyau de la chaleur) – Équations de Cauchy-Riemann – équations de Lagrange – Équations de Lotka-Volterra – Équations de Navier-Stokes

condition aux limites (initiale – dynamique – mêlée – périodique – de Dirichlet – Neumann – Robin) – problème aux limites – théorème d'unicité de Stokes

équation intégrale

Systèmes dynamiques

système dynamique (de Lorenz – mesuré) – cycle limite – attracteur (Hénon – Lorenz) – billard de Sinai – décalage de Bernoulli – fer à cheval de Smale – dynamique holomorphe – effet papillon – oscillateur (de Van der Pol – à un degré de liberté) – pendule cycloïdal – point fixe – portrait de phase – principe du minimum de Pontryagin – problème à N corps – transformation du boulanger – système d'Anosov

théorème de Sarkovskii – théorèmes de point fixe – point d'accumulation – théorème de Poincaré-Bendixson – théorème de récurrence de Poincaré – théorème de Floquet

théorie du chaos – théorie ergodique (théorème ergodique)

Théorie de l'intégration

calcul intégral (calcul numérique d'une intégrale) – famille sommable – fonction localement intégrable – fonction simple

théorème de convergence dominée – lemme de Fatou – carré sommable – somme de Riemann – intégrale impropre – intégrale de chemin – lemme de Cousin – point de Lebesgue

intégrale de : Riemann – Lebesgue – Kurzweil-Henstock – Stieltjes

intégrale impropre – intégrale paramétrique

produit de convolution – valeur principale de Cauchy

comparaison série-intégrale

inégalité de Jensen – théorème d'interversion série-intégrale – inégalité de Wirtinger – inégalité de Tchebychev pour les sommes – inégalité de réarrangement – inégalité de Young – inégalité de Nesbitt – fonction maximale de Hardy-Littlewood – formule d'Euler-Maclaurin – formule de Cauchy pour l'intégration successive – lemme de Grönwall – théorème de Fubini – théorème de convergence dominée – théorème de convergence monotone – théorème de différenciation de Lebesgue

intégrales de Wallis – intégrale de Gauss – intégrale d'Euler – intégrale de Dirichlet – intégrale de Fresnel

Théorie de la mesure

tribu – sigma-anneau – mesure – espace mesurable – espace mesuré – partie mesurable – fonction mesurable – support de mesure

Exemples 

mesure de comptage – mesure de Dirac – mesure de Hausdorff – mesure de Lebesgue

Propriétés 

mesure finie – mesure sigma-finie – mesure complète – régularité extérieure

Résultats 

théorème de Lusin – propriété Luzin – lemme de transport – théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue – théorème d'Egoroff – théorème d'extension de Carathéodory – théorème de Borel-Cantelli

Constructions 

complétion d'une mesure – mesure produit – mesure secondaire – mesure signée – mesure spectrale – transformée de Stieltjes

Théorie géométrique de la mesure – ensemble rectifiable

Analyse complexe

fonction multivaluée – théorème de Fatou – théorème de Goursat – théorème de Mergelyan – théorème de Morera – formule intégrale de Cauchy – intégrale de Cauchy – théorème intégral de Cauchy – série de Dirichlet – série d'Eisenstein – série entière – série hypergéométrique – série de Laurent – prolongement analytique – pôle – zéro – résidu (à l'infini) – singularité

formule d'Euler – constantes de Landau

point de césure

théorème de Borel – lemme de Borel-Carathéodory – fonction holomorphe – fonction méromorphe – fonction entière – conjecture de Bieberbach – théorème de Fatou – lemme de Goursat – principe de Harnack – principe de l'argument – théorème de Rouché – théorème de Tsuji – théorème de Weierstrass-Casorati – théorème des résidus – théorèmes de Picard – théorème de Liouville – théorème de Mergelyan – théorème de Montel – théorème de relèvement – théorème de l'application ouverte – théorème de Gauss-Lucas – théorème de factorisation de Weierstrass

inégalité de Hilbert – inégalité de Cauchy

fonction multiforme – branche principale – monodromie – point de branchement

forme modulaire – formule d'Euler – formule de Jensen – formule de Riemann-Siegel – lemme de Jordan – lemme de Schwarz – lemme de Hartogs

hypothèse de Riemann (généralisée) – théorème de la droite critique

indice – équation différentielle holomorphe

fonction L (conjecture d'Artin) – série L de Dirichlet

Analyse fonctionnelle

calcul des variations (lemme fondamental) – analyse fractionnaire – dérivée fonctionnelle – formulation variationnelle – formulation faible fonctionnelle – lemme de Hadamard – théorème de Banach-Steinhaus – théorème de Hahn-Banach – théorème de Lax-Milgram – théorème de Mercer – théorème de Riemann-Lebesgue – formulation faible – problème de l'obstacle – théorème d'Ascoli – théorème de Banach-Mazur – théorème de Mercer – Théorème d'Ascoli – Théorème de Baire – Théorème de Banach-Alaoglu – Théorème de Banach-Schauder – Théorème de Banach-Steinhaus – Théorème du graphe fermé – Théorème de Hahn-Banach – Théorème de Lax-Milgram – théorème de Fréchet-Kolmogorov – théorème de Rellich – théorème de Riesz-Fischer – théorème de Meyers-Serrin H=W – théorèmes de Dini – propriété de Daugavet – théorème de représentation de Riesz – théorème de Borel

espace fonctionnel – espace de suites lp – espace L¹ – espace L² (carré sommable) – espace L^p – espace L^∞ – espace de suites l^p – espace d'interpolation – espace de Banach – espace de Hilbert – espace de Schwartz – espace de Sobolev – algèbre de Banach – algèbre de von Neumann – algèbre normée – C*-algèbre – approximant de Padé – calcul des variations inégalité de Minkowski – inégalité de Hölder – inégalité de Korn – inégalité de Poincaré – inégalité de Wirtinger

dérivée fonctionnelle

Transformées

Hilbert – Laplace (bilatérale) – Fourier (discrète – à court terme) – Fourier-Mukai – Mellin – Möbius – Shanks – Stieltjes – Walsh – en W – en Z – en cosinus discrète – en ondelettes continue

lifting en ondelettes – théorème de Plancherel

calcul opérationnel

Théorie des opérateurs

norme d'opérateur – algèbre d'opérateurs – déterminant de Fredholm – fonction propre –

Exemples 

opérateur laplacien – opérateur laplacien vectoriel – laplacien discret – opérateur bilaplacien – d'alembertien – opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing – opérateur de différence

opérateur différentiel – opérateur intégral – opérateur pseudo-différentiel

Théorie des distributions

distribution de Dirac – fonction de Green – peigne de Dirac – distribution tempérée

Analyse constructive

suite de Specker – unzerlegbarkeit

Analyse non standard

ensemble standard – infiniment petit – Abraham Robinson – Edward Nelson – nombre hyperréel – principe d'idéalisation – principe de standardisation

Analyse numérique

lissage – méthode de la phase stationnaire – méthode du point col – technique de relaxation (dynamique – continue) – delta-2 – méthode de Monte-Carlo – optimisation – optimisation linéaire – optimisation quadratique – méthode des éléments finis – méthode de Galerkin – calcul numérique – critères de Wolfe – descente de gradient – différence finie – différences divisées – séparation et évaluation – extrapolation de Richardson – BFGS – méthode de Newmark – méthode des caractéristiques – intégration de Verlet – problème bien posé – théorème de Lax – théorème de Lax-Wendroff – stabilité d'un schéma numérique – théorème de Sturm – théorème de Laguerre – recherche linéaire – conditions de Kuhn-Tucker

ondelette – ondelette de Haar

sous-différentiel

problème de l'obstacle

phénomène de Runge

linéarisation équivalente

Algorithmes numériques 

calcul de la racine n-ième d'un nombre – méthode de Héron

résolution numérique des équations différentielles : méthode des volumes finis – méthode des éléments finis – méthode des éléments finis de frontière – méthode des différences finies – méthodes de Runge-Kutta

recherche des zéros d'une fonction : interpolation quadratique inverse – iteration de Halley – itération de Householder – méthode de Brent – méthode de Laguerre – méthode de Müller – méthode de Newton – méthode de Quasi-Newton – méthode de dichotomie – méthode de la fausse position – méthode de la sécante

résolution de système linéaire : méthode des moments – méthode du gradient conjugué – méthode du gradient biconjugué

calcul numérique d'une intégrale : formules de Newton-Cotes – méthode de Romberg – méthode de la phase stationnaire – méthode du point col – méthodes de quadrature de Gauss – méthode du point médian

Analyse p-adique

théorème de Mahler

Théorie analytique des nombres

théorème des nombres premiers – théorème de Mertens – problème de Bâle – produit eulérien

Autres

théorie de Galois différentielle – théorie du potentiel – théorie du transport