Le raisonnement par l'absurde (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec ancien apagôgê) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (ou « contraire »), soit à montrer la fausseté d'une autre proposition en déduisant logiquement d'elle des conséquences absurdes.

En philosophie

Apagogie positive

On parle d'apagogie positive ou de démonstration par l'absurde simple quand la conclusion affirme la vérité d'une proposition, non en l'établissant directement par une démonstration tirée de la nature même de la chose, mais indirectement, en faisant voir que la proposition contraire est absurde. On conclut de la fausseté de l'une à la vérité de l'autre.

Par exemple, Spinoza démontre par l'absurde que « la production d'une substance est chose absolument impossible » (Éthique I, proposition VI, corollaire). En effet, si une substance pouvait être produite, la connaissance de cette substance devrait dépendre de la connaissance de sa cause (sachant que la connaissance de l'effet suppose celle de la cause) et ainsi elle ne serait plus une substance, puisqu'une substance est précisément ce qui est en soi et est conçu par soi.

Limites de ce mode de raisonnement

Ce raisonnement n'est légitime que lorsqu'il n'y a que deux propositions contradictoires possibles, dont l'une est nécessairement fausse si l'autre est vraie, et réciproquement ; autrement il dégénère en sophisme s'appuyant sur un faux dilemme. Ou alors, il faut effectivement prouver la fausseté de toutes les autres thèses alternatives : soit A, B ou C considérées comme hypothèses possibles, on prouve que B et C sont fausses, A est donc vraie (il s'agit classiquement de ce qu'on appelle aussi le raisonnement disjonctif (modus tollendo-ponens).

D'un point de vue épistémologique, cette preuve reste toujours inférieure à la démonstration directe, parce que, si elle contraint l'esprit, elle ne l'éclaire pas et ne donne pas la raison des choses, comme le fait la preuve directe ou ostensive. Il est donc préférable de ne l'employer que quand on ne peut faire autrement : si, par exemple, dans la discussion, on a affaire à un contradicteur qui se refuse à toute preuve directe ou qui nie les principes. C'est le cas pour la réfutation de certaines doctrines, comme le scepticisme.

Apagogie négative

En philosophie, la méthode apagogique ou réduction à l'absurde a une place plus importante dans le domaine de la réfutation des idées adverses. L'apagogie consiste alors à faire ressortir que la proposition à réfuter conduit à des conséquences absurdes car impossibles (contradictoires avec elles-mêmes ou avec d'autres principes admis comme vrais). Moins risqué que l'apagogie positive, ce mode de raisonnement n'affirme pas forcément que l'inverse est vraie. Ainsi, on réfutera par exemple la proposition tout ce qui est rare est cher en indiquant que si c'était vrai, alors il s'ensuivrait qu'un cheval bon marché, qui est chose rare, devrait en même temps être cher, ce qui est absurde, c'est-à-dire contradictoire dans les termes. La proposition « tout ce qui est rare est cher » est donc nécessairement fausse. Mais on n'affirme pas pour autant que l'opposé logique de cette proposition, à savoir « Il existe quelque chose qui est rare sans être chère », est vraie.

Moins rigoureusement, voire de façon sophistique, on se contentera de faire ressortir des conséquences funestes ou désagréables d'une thèse ou d'une doctrine (voir l'argumentum ad consequentiam).

Néanmoins, il reste aussi préférable d'un point de vue logique de réfuter par l'analyse directe de la fausseté des principes. Aussi un usage non critique de ce type de preuve peut-il être soupçonné d'appartenir plus à la dialectique éristique et à la rhétorique qu'à la philosophie proprement dite.

En mathématiques

La démonstration par l'absurde, usitée dans les mathématiques classiques pour démontrer certains théorèmes, rentre dans la preuve apagogique.

Admettons que nous ayons à démontrer une proposition p. La démarche consiste à montrer que l'hypothèse non p (c'est-à-dire que p est fausse) mène à une contradiction logique. Ainsi p ne peut pas être fausse et doit être donc vraie.

La reductio ad absurdum est donc représentée par :

Dans ce qui précède, est la proposition que nous souhaitons démontrer et est un ensemble d'assertions qui sont données comme vraies ; celles-ci pourraient être, par exemple, les axiomes de la théorie dans laquelle nous travaillons ou des hypothèses spécifiques. Nous considérons la négation de en plus de  ; si ceci mène à une contradiction logique , alors nous pouvons conclure que, des propositions de , on déduit .

Il convient de bien distinguer la règle :

• p → Faux, donc non(p), qui n'est pas le raisonnement par l'absurde, mais peut être prise comme définition de la négation,

de la règle :

• non(p) → Faux, donc p qui est le raisonnement par l'absurde, équivalent également à l'élimination de la double négation.

En logique intuitionniste, on admet la première règle, mais pas la deuxième. De même, on y rejette le principe du tiers exclu et l'élimination de la double négation. Une proposition que l'on peut prouver en logique intuitionniste ne nécessite pas de raisonnement par l'absurde. Une proposition prouvée en logique classique, mais invalide en logique intuitionniste, nécessite un raisonnement par l'absurde.

Il est possible d'utiliser un raisonnement par l'absurde pour prouver l'existence abstraite d'objets mathématiques. Soit la proposition affirmant l'existence d'un tel objet. Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que cet objet n'existe pas et en déduire une contradiction. On conclut alors à l'existence du dit objet. Ce type de raisonnement est rejeté en logique intuitionniste car il ne donne en aucune façon une construction effective du dit objet.

À l'inverse, si la supposition de la même proposition d'existence conduit à une contradiction, on conclut à la non-existence de l'objet par simple application de la règle sur la négation d'une proposition, sans qu'il y ait raisonnement par l'absurde. Ce type de raisonnement est accepté en logique intuitionniste.

Le raisonnement par l'absurde est également utilisé dans le raisonnement par contraposition, consistant à prouver l'implication P → Q en montrant que non(Q) → non(P).

Exemples

• Irrationalité de  : si est rationnel, il existe deux entiers a et b qu'on peut supposer premiers entre eux tels que . On a alors . Si on prend les restes des deux membres dans la division par 2, on obtient , donc a est pair égal à 2a'. On a alors , ce qui, par un raisonnement comparable, conduit à b pair. a et b étant tous deux pairs conduit à une contradiction avec a et b premiers entre eux. L'affirmation rationnel conduisant à une contradiction, sa négation est valide, donc est irrationnel. Dans cette démonstration, on a seulement utilisé le fait que, si une proposition P conduit à une contradiction, alors on a non(P). Il n'y a donc aucun raisonnement par l'absurde, malgré les apparences.

• Le théorème des valeurs intermédiaires : même si un raisonnement par l'absurde ne semble pas apparaître dans la démonstration de ce théorème, il est cependant fait appel au principe du tiers exclu dont la validité repose sur le raisonnement par l'absurde. L'existence de la racine affirmée par le théorème est purement formelle et non effective. Ce théorème n'est pas accepté en analyse constructive sauf à rajouter des hypothèses plus fortes.

Voir aussi

• Analyse constructive
• Déduction naturelle
• Proposition contraposée

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