La traînée induite, souvent notée Ri, est une force de résistance à l'avancement induite par la portance et qui dépend de certaines caractéristiques de l'aile, notamment de son allongement et de la distribution de la portance en envergure.

Elle se distingue des traînées dites « parasites » : de frottement, de séparation, et d'onde.

Allongement

L'allongement effectif utilisé pour le calcul peut être supérieur à l'allongement géométrique (cloison en bout d'aile, ailette marginale ou winglet)

Distribution de la portance

La distribution de portance optimale (celle qui minimise la traînée induite) est elliptique^[1]. La distribution effective dépend :

• de la forme en plan de l'aile,
• de sa flèche (la flèche arrière charge davantage l'extrémité de l'aile),
• de son vrillage (qui modifie la répartition de la portance par rapport à la forme en plan),
• des modifications locales de la portance :
  • interférence du fuselage (diminution locale de la portance dans l'axe du fuselage, pics de portance aux emplantures d'aile),
  • par le déploiement de volets hypersustentateurs ou d'aérofreins
  • souffle d'hélices augmentant la portance (moteurs montés sur l'aile).

Calcul de la résistance induite

• Calcul de la résistance induite Ri

Ri = q . S . Ci

q : pression dynamique = 1/2 . ρ . V²

S : surface alaire

ρ : masse volumique du fluide, V = vitesse en m/s

Ci : coefficient de traînée induite

• Calcul du coefficient de traînée induite Ci

Ci = Cz²/ (π . λ . e)

Cz : coefficient de portance de l'aile

π (pi) : 3.1416

λ : allongement. Par définition, λ=b²/S où b est l'envergure de l'aile.

e : coefficient d'Oswald (inférieur à 1) qui dépend de la distribution de portance en envergure.

e pourrait être égal à 1 pour une distribution de portance "idéale" (elliptique). En pratique e est de l'ordre de 0.75 à 0.85.

• Remarque sur la relation cachée entre Cz et λ:

Pour qu'un avion puisse voler, la portance Fz doit compenser le poids de l'avion
On en déduit le Cz

Cz = Fz / (q . S)

il ressort (en remplaçant Cz dans la formule précédente):

Ci = (Fz / (q . S))²/ (π . λ . e)

et

Ri = q . S . (Fz / (q . S))² / (π . λ . e)

Ri = Fz² / (q . S . π . λ . e)

comme λ = b² / S
on a au final :

Ri = (Fz / b)² / (q . π . e)

Avec q = 1/2 . ρ . V2 on obtient

La traînée induite est proportionnelle au carré de la portance et inversement proportionnelle au carré de l'envergure et au carré de la vitesse.
Pour réduire cette traînée, on peut :

réduire le poids,

augmenter l'envergure (et augmenter l'allongement à surface constante),

augmenter la vitesse.

Un guide complet de calcul de ces formules est donné grâce à la Théorie des profils minces.

Valeur de la traînée induite

• La traînée induite est nulle :

si la portance est nulle

si l'allongement est infini

• La traînée induite est moindre :

si l'allongement est grand et si le Cz est petit (Cz 0.1 à 0.3, avion rapide)

• La traînée induite est importante :

si l'allongement est petit et le Cz fort (aile delta au décollage).

Relation avec la traînée parasite

Courbes montrant les trainée induite, parasite ainsi que la trainée combinée par rapport à la vitesse de l'air

La traînée parasite causée par la résistance de l'air peut s'écrire sous la forme

où est le coefficient de trainée horizontale. On obtient donc:

Lorsqu'un avion ou planeur est en vol, la traînée induite et la traînée parasite s'ajoutent et constituent la traînée totale R(V). La finesse d'un planeur sera optimale lorsque la traînée totale R(V) est minimale. On résout donc l'équation

On peut écrire symboliquement :

Après avoir calculé la dérivée de R(V), on résout donc:

Et donc en multipliant la relation ci-dessus par V, on obtient :

ce qui signifie que la traînée induite est égale à la traînée parasite.

Conséquences pour le

Un planeur n'a pas de moteur; il est « propulsé » par ses ailes^{[note 1]}sous l'effet de la gravité. Soit f(V) la finesse du planeur défini par le rapport de la vitesse horizontale à la vitesse verticale. Soit l'angle de plané. Comme est petit, on peut écrire que et donc que :

Quand le planeur est en équilibre, en mouvement non accéléré, on a :

Pour minimiser on va minimiser R(V). Par conséquent, le planeur atteindra sa finesse maximale en air calme lorsque la traînée induite est égale à la traînée parasite. Si l'on développe l'équation ci-dessus, on obtient :

Par conséquent, plus le planeur sera lourd, plus la vitesse à laquelle la finesse maximale sera atteinte sera élevée. Ceci est la raison pour laquelle les pilotes vont augmenter la masse et donc le poids de leur planeurs en ajoutant de l'eau dans les ailes dans des compartiments spécialement conçus à cet effet.

De plus, la finesse maximale du planeur reste inchangée lorsqu'on augmente sa masse et donc son poids. Dans ce qui suit, on démontre cette assertion qui ne semble pas évidente. On rappelle que lorsque la planeur atteint sa finesse maximale la traînée induite est égale à la traînée parasite. On obtient donc :

Et donc :

Comme annoncé ci-dessus, la finesse maximale ne dépend pas de la masse du planeur et ni de la densité de l'air environnant. Ceci justifie a posteriori que la vitesse de chute du planeur augmentera en même temps que sa masse. Donc, lorsque les conditions aérologiques sont moins favorables^{[note 2]}, il est préférable de minimiser la masse du planeur pour minimiser la vitesse de chute et donc de ne pas ajouter d'eau dans les ailes ou, si l'on est déjà en vol, de vidanger les ailes.

De plus, plus λ est grand, plus sera petit. Donc, les planeurs ayant des grandes ailes, pour une surface ailaire équivalente, aura un plus petit angle de plané et donc une plus grande finesse. Ceci est la raison pour laquelle certains planeurs de compétition en classe libre peuvent avoir jusqu'à 30 mètres d'envergure.

Articles connexes

• Traînée
• Coefficient de portance
• Aérodynamique
• hydrodynamique.

Notes

Références

• Portail de l’aéronautique

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Dernière modification de cette page le 7 avril 2013 à 12:02
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