Vitesse du son

La vitesse du son est la vitesse à laquelle se déplacent les ondes sonores. Elle varie selon le milieu de propagation.

Sommaire

1 Définition
2 Historique
3 Vitesse du son dans un corps solide
4 Vitesse du son dans un fluide quelconque
5 Vitesse du son dans un liquide
6 Vitesse du son dans un gaz parfait
- 6.1 Influence des autres facteurs
7 Vitesse du son dans un gaz de van der Waals
8 Démonstrations
9 Fluides diphasiques
- 9.1 Table des propriétés de l'air en fonction de la température
- 9.2 Table des propriétés de l'air en fonction de l'altitude
10 Méthodes expérimentales
11 Exemples de vitesses du son pour différents matériaux
12 Bibliographie
13 Voir aussi
- 13.1 Articles connexes
- 13.2 Liens externes

Définition

La vitesse du son est définie de la manière suivante : $c = \frac{\omega}{k}$ (en m/s) avec :

$c$ : la vitesse du son en m/seconde
$\omega$ : la pulsation de l'onde (en rad/s) ;
$k$ : la norme de son vecteur d'onde (en rad/m).

Cela correspond à la définition de sa vitesse de phase. Dans le cas où le milieu est dispersif, elle est différente de la vitesse de groupe, qui est la vitesse de propagation de l'énergie sonore. Cette différence peut jouer un rôle lorsqu'on mesure la vitesse du son (voir plus bas). Il ne faut pas non plus confondre cette vitesse avec celle des molécules constituant le matériau, ni celle des particules fluides dans le cas d'un fluide.

Les deux principaux facteurs jouant sur la valeur de la vitesse du son sont la masse volumique et la constante d'élasticité (ou compressibilité) du milieu de propagation : la vitesse du son est d'autant plus grande que la masse volumique du milieu est grande et que sa compressibilité est faible. Ainsi, dans un gaz à pression atmosphérique, la vitesse du son est plus faible que dans un liquide bien que la masse volumique d'un tel gaz soit plus faible que celle d'un liquide, parce que sa compressibilité est beaucoup plus grande. Par exemple, le son se propage approximativement à 341 m/s (1 227,6 km/h) dans l'air à 15 °C, à 1 435 m/s (5 166 km/h) dans l'eau douce et à environ 1 500 m/s (5 400 km/h) dans l'eau de mer.

Cette propriété est notamment utilisée pour déterminer la qualité d'un béton, car une propagation plus rapide signifie que le béton contient peu de bulles d'air (la vitesse du son dans le béton est beaucoup plus élevée que dans l'air).

Historique

Les premières expériences visant à mesurer la vitesse du son furent l'œuvre de Marin Mersenne durant la Renaissance. Marin Mersenne, cité par Pierre Gassendi^[1], trouva une vitesse de 230 toises (soit 448 m) par seconde. Pierre Gassendi montra que les sons graves et aigus se propagent à la même vitesse.

Durant le XVII^e siècle d'autres expériences furent menées par Edmond Halley et Robert Boyle ainsi que par Giovanni Domenico Cassini et Christian Huygens, avec des résultats différents.

L'Académie des sciences française chargea en 1738 MM. De Turi, Maraldi et l'Abbé de la Caille d'organiser des nouvelles expériences^[2]. Ils firent certaines de leurs opérations sur une ligne de 14636 toises (soit 28,5 km) à l'aide de coups de canon tirés la nuit (pour voir les flammes sortant de la bouche de l'arme) entre la tour de Montlhéry et la pyramide de Montmartre. Les principaux résultats furent :

1/ le son parcourt 173 toises (soit 337,2 m) en une seconde ;

2/ s'il fait un vent dont la direction soit perpendiculaire à celle du son, celui ci a la même vitesse qu'il aurait par temps calme ;

3/ si le vent souffle dans la même direction que celle du son, il le retarde ou l'accélère selon sa propre vitesse ;

4/ la vitesse du son est uniforme, c'est-à-dire que dans des laps de temps égaux et consécutifs, il parcourt des espaces semblables ;

5/ l'intensité ou la force du son ne change rien à sa vitesse. Enfin, dans le même ouvrage, l'Abbé Nollet démontre que « le son décroît comme le carré de la distance qui augmente ».

En 1822, François Arago et Gaspard de Prony réalisent de nouvelles expériences plus rigoureuses, sur ordre du Bureau des longitudes. Cette fois-ci ils décident d'utiliser des tirs croisés, entre Villejuif et Montlhéry. Les coups de canons seront tirés en même temps, de cette manière, les expérimentateurs espèrent limiter les perturbations dues au taux d'hygrométrie, de vitesse du vent, de pression et de température. De plus, des chronomètres plus précis sont utilisés. Les expériences ont lieu dans les nuits du 21 et 22 juin 1822. Les résultats donnent la valeur de 340,88 m.s^-1 à une température de 15,9 °C. Après correction, la vitesse à 0 °C est de 330,9 m.s^-1.

La vitesse du son est également déterminée dans d'autres environnements, comme en 1808 dans les solides par Jean-Baptiste Biot et en 1828 dans l'eau du Lac Léman par Jean-Daniel Colladon et Charles Sturm.

Vitesse du son dans un corps solide

Dans un solide, la vitesse des ondes mécaniques est dépendante de la masse volumique ρ et des constantes d'élasticité. Des ondes tant longitudinales que transverses peuvent se propager (ondes P et S en sismologie) dont les vitesses sont données par :

$c_{\mathrm{l}} = \sqrt{\frac{E(1-\nu)}{\rho(1+\nu)(1-2\nu)}}$

$c_{\mathrm{s}} = \sqrt{\frac{E}{2\rho(1+\nu)}}$

où:

$E$ : désigne le module d'Young
$\nu$ : le coefficient de Poisson du matériau.

Vitesse du son dans un fluide quelconque

Sans onde de cisaillement, la vitesse du son se propage seulement par compression. Si le son n'est pas trop fort ( $\Delta P_{\rm sonore} \ll P_{\rm ambiant}$ ), la compression et la détente du fluide peut être considérée comme étant isentropique et la vitesse du son est :

$c_{\mathrm{fluide}}=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_S}$ .

La racine carrée de la dérivée partielle de la pression par la densité à entropie constante.

Vitesse du son dans un liquide

La célérité du son dans un liquide est une fonction de la masse volumique ρ et du coefficient de compressibilité adiabatique χ et se calcule ainsi :

$c_{\mathrm{liquide}} = \frac{1}{\sqrt{\rho \; \chi}}$ .

Vitesse du son dans un gaz parfait

La vitesse du son dans un gaz parfait est fonction du coefficient isentropique γ (gamma), de la masse volumique ρ ainsi que de la pression p du gaz, et se calcule ainsi :

$c_{\mathrm{gaz}} = \sqrt{\frac{\gamma \cdot p}{\rho}}$

avec :

$\gamma = \frac{c_p}{c_v}$

c_p et c_v étant les capacités thermiques massiques isobare et isochore.

La vitesse du son peut être aussi calculée à l'aide de l'équation d'état, du coefficient adiabatique γ (gamma), de la constante spécifique du gaz R_s et de la température T (K en kelvin).

$c_{\mathrm{gaz}} = \sqrt{\gamma \cdot R_s \cdot T} .$

Avec pour l'air :

γ = 1,4 ;
R_s = 287 J/kg/K.

Le coefficient adiabatique γ dépend peu de la température T, la constante R est une grandeur indépendante de la température.

Cette vitesse est corrélée à la vitesse moyenne <v> des molécules. En effet, l'équation des gaz parfaits relie p à la température T et au volume V, et l'on a

pV ^γ = constante.

Ce qui permet d'exprimer c en fonction de T seul, et donc de <v>. Dans le cas d'un gaz parfait monoatomique (γ = 5/3), on a :

$c_{\mathrm{gaz}} = \sqrt{\frac{5p}{3 \rho}} = \sqrt{\frac{5kT}{3m}} = \sqrt{\frac{5 \pi}{24}} \langle v \rangle$

c_gaz ≈ 0,81·<v'>

m étant la masse d'une molécule.

Cette relation indique que dans le domaine des gaz parfaits (c'est-à-dire des pressions modérées), la vitesse du son est proportionnelle à la vitesse des molécules, c'est-à-dire à la racine carrée de la température absolue.

Dans le cas de l'air (composé en majorité de gaz parfaits diatomiques), la célérité du son peut être approchée par la linéarisation suivante :

c_air = (331,5 + 0,607·θ) m.s^-1

où θ (thêta) est la température en degrés Celsius :

θ = T-273,15

T étant en K.
Cette formule approchée permet d'obtenir la célérité du son de -20 °C à +40 °C avec une erreur inférieure à 0,2 %.

Influence des autres facteurs

L'humidité de l'air influe peu.

Vitesse du son dans un gaz de van der Waals

La vitesse du son dans un gaz de van der Waals est fonction de deux variables thermodynamiques indépendantes, classiquement la température et la masse volumique, ainsi que de quatre paramètres, γ, $R_s$ , a et b.

$c_S = \sqrt{\left(\frac{R_s}{c_V}+1\right)\frac{R_sT}{\left(1-\rho b\right)^2}-2a\rho}.$

Démonstrations

Vitesse du son dans un liquide

Soit un fluide non visqueux, initialement au repos. Les propriétés du milieu en un point M situé à une distance r de la source de perturbation peuvent s'écrire comme la somme d'une valeur moyenne temporelle (uniforme) et d'une composante instationnaire (de faible amplitude). Ainsi :

Densité : $\rho \left(M,t\right)=\rho_0 + \rho'\left(r,t\right)$
Pression : $p\left(M,t\right) = p_0 + p'\left(r,t\right)$
Vitesse : composante radiale uniquement, de moyenne temporelle nulle, notée $u\left(r,t\right)$

Les équations de Navier-Stokes relient les variations de $\rho$ , $p$ et $u$ , tandis q'une équation d'état est nécessaire pour relier $\rho$ à la pression $p$ .

Bilan de masse (équation de continuité) : $\frac{\partial \rho}{\partial t}+div\left(\rho\ \vec{v}\right)=0$

Soit : $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\rho\ div\left(\vec{v}\right)+\vec{v}\cdot\vec{grad}\rho=0$

En négligeant le terme convectif $\vec{v}\cdot\vec{grad}\rho$ puisque $\vec{v}\approx\vec{0}$ , en assimilant $\rho$ à sa moyenne temporelle $\rho_0$ , et en développant le tout en coordonnées sphériques, il vient :

$\frac{\partial \rho'}{\partial t}=-\frac{\rho_0}{r^2}\frac{\partial \left(r^2 u\right)}{\partial r}\ \ (E_1)$

Bilan de quantité de mouvement (équation d'Euler en l'absence de prise en compte de la viscosité) : $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=-\vec{grad}\ p$

Projetée sur l'axe radial, cette équation s'écrit : $\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial r}\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}$

En négligeant le terme $u\frac{\partial u}{\partial r}$ puisque $u \approx 0$ et en assimilant $\rho$ à sa moyenne temporelle $\rho_0$ , il vient :

$\frac{\partial p'}{\partial r} \approx -\rho_0\ \frac{\partial u}{\partial t}\ \ (E_2)$

Equation d'état

La densité est reliée à la pression par l'équation d'état du fluide $p=f\left(\rho\right)$ , dont la dérivée au premier ordre est exprimée par le coefficient de compressibilité isentropique $\chi_S=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S$ . On peut donc écrire : $\rho'\approx \rho_0\ \chi_S\ p'\ \ (E_3)$ .

Expression du champ de pression

En éliminant $\rho'$ de l'équation (E1) grâce à l'équation (E3), nous obtenons :

$\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial p'}{\partial t} & = & -\frac{1}{\chi_S}\left(\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{2u}{r}\right) \\ & & \\ \frac{\partial p'}{\partial r} & = & -\rho_0\ \frac{\partial u}{\partial t}\\ \end{array} \right.$

La dérivation de la première équation par rapport au temps et de la seconde par rapport à r donne :

$\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} & = & -\frac{1}{\chi_S}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial r}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial t}\right) \\ & & \\ \frac{\partial^2 p'}{\partial r^2} & = & -\rho_0\ \frac{\partial^2 u}{\partial r \partial t}\\ \end{array} \right.$

En éliminant $\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial r}$ et $\frac{\partial u}{\partial t}$ , on aboutit à : $\frac{\partial^2 p'}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial p'}{\partial r} = \rho_0\ \chi_S\ \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2}$

$\ \ \Leftrightarrow \ \ \Delta p' = \rho_0\ \chi_S\ \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2}$ où le symbole $\Delta$ désigne l'opérateur laplacien.

Il s'agit de l'équation de propagation d'une onde sphérique de célérité $c=\frac{1}{\sqrt{\rho_0 \ \chi_S}}$ .

La solution générale du champ de pression est de la forme : $p=p_0+\frac{1}{r}\left[f_1\left(t-\frac{r}{c}\right)+f_2\left(t+\frac{r}{c}\right)\right]$

Vitesse du son dans un gaz parfait

La démonstration précédente reste vraie pour un gaz.

Pour un gaz parfait de constante massique $r$ (J/kg/K) et de rapport des capacités calorifiques $\gamma$ :

L'équation d'état est $\frac{p}{\rho}=r\cdot T$
Le coefficient de compressibilité isentropique défini par $\chi_S=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S$ vaut $\frac{\chi_T}{\gamma}$
Le coefficient de compressibilité isotherme défini par $\chi_T=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_T$ vaut $\frac{1}{p}$

La célérité du son $c=\frac{1}{\sqrt{\rho \chi_S}}$ est donc égale à $\sqrt{\gamma\ r\ T}$ .

Fluides diphasiques

Dans le cas d'un fluide diphasique (bulle d'air dans l'eau par exemple), la vitesse du son se trouve fortement modifiée. Le calcul de la vitesse du son est alors assez complexe et dépend notamment des relations qui unissent les deux fluides (par exemple, dans le cas d'un liquide avec des bulles de vapeur, il faudra prendre en compte les changements de phase).

Néanmoins, un résultat général peut être donné. La vitesse du son de ce mélange est bien inférieure à la plus petite des deux. Par exemple, pour un mélange eau/vapeur, la vitesse du son est autour de 30 m/s pour un taux de présence de 0,5. Cela s'explique en considérant la masse volumique moyenne du mélange, qui est comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur, et la compressibilité (ou la constante d'élasticité moyenne) qui est elle aussi comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur. En introduisant les bulles de vapeur dans l'eau, on a tout à la fois diminué la masse volumique moyenne du milieu (cette modification, seule, tend à augmenter la vitesse du son) et augmenté sa compressibilité (cette modification, seule, diminue la vitesse du son). Mais on a beaucoup plus augmenté la constante élastique, que diminué la masse volumique. C'est pourquoi on a obtenu une vitesse du son plus faible dans ce mélange que dans l'eau pure.

Table des propriétés de l'air en fonction de la température

La table suivante présente l'évolution de quelques propriétés de l'air sous une pression d'une atmosphère en fonction de la température.

Influence de la température sur l'air
θ en °C	c en m.s^-1	ρ en kg.m^-3	Z en N·s.m^-3
- 10	325,4	1,341	436,5
- 5	328,5	1,316	432,4
0	331,5	1,293	428,3
+ 5	334,5	1,269	424,5
+ 10	337,5	1,247	420,7
+ 15	340,5	1,225	417,0
+ 20	343,4	1,204	413,5
+ 25	346,3	1,184	410,0
+ 30	349,2	1,164	406,6

Table des propriétés de l'air en fonction de l'altitude

La table suivante présente l'évolution de quelques propriétés de l'air sous une pression d'une atmosphère en fonction de l'altitude. Noter que ces valeurs sont valides pour ces conditions particulières au niveau de la mer.

Influence de l'altitude sur l'air^[3]
Altitude en m	θ en °C	P en kPa	c en m/s	ρ en kg/m³
0	15,00	101,33	340,3	1,225
200	13,70	98,95	339,5	1,202
400	12,40	96,61	338,8	1,179
600	11,10	94,32	338,0	1,156
800	9,80	92,08	337,2	1,134
1 000	8,50	89,88	336,4	1,112
2 000	2,00	79,50	332,5	1,007
3 000	-4,49	70,12	328,6	0,909
4 000	-10,98	61,66	324,6	0,819
6 000	-24,0	47,22	316,5	0,660
8 000	-36,9	35,65	308,1	0,526
10 000	-49,9	26,50	299,5	0,414
12 000	-62,9	19,40	295,1	0,312

Méthodes expérimentales

Il existe plusieurs façons de mesurer la vitesse du son :

par mesure d'un temps de propagation.

En envoyant depuis un émetteur des impulsions sonores et en les détectant à l'aide d'un microphone, on peut mesurer le temps que met l'impulsion à parcourir la distance les séparant. Cela correspond donc à mesurer la vitesse de l'énergie sonore, c'est-à-dire la vitesse de groupe ;

par mesure de la fréquence et de la longueur d'onde.

En mesurant la longueur d'onde du son et en la multipliant par sa fréquence, on obtient sa vitesse. Cela correspond à la vitesse de phase. Il existe plusieurs méthodes permettant ces mesures :

par exemple, un tube de Kundt est constitué d'un tube bouché à l'une des extrémités, et accolé à un haut-parleur à l'autre. Le son issu de ce haut-parleur est réfléchi par le côté du tube, et il s'installe une onde stationnaire dedans. En déplaçant un microphone dans le tube, on peut en détecter les ventres (maxima) et les nœuds (minima), ce qui permet de mesurer la longueur d'onde, puis la vitesse du son ;
on peut aussi réaliser des ondes stationnaires dans les liquides, mais il est alors impossible d'utiliser un microphone pour les détecter. Cependant, ces ondes agissent sur la lumière de la même façon qu'un réseau optique. Il est donc possible, grâce à un montage optique, de mesurer la vitesse du son.

La différence principale entre ces deux méthodes est le résultat obtenu : d'une part la vitesse de phase, et d'autre part la vitesse de groupe. La différence entre ces deux grandeurs n'est cependant visible que lorsque la dispersion du milieu est importante, ce qui est rarement le cas.

Exemples de vitesses du son pour différents matériaux

Le tableau suivant donne quelques exemples pour quelques matériaux à une température de 20 °C et sous une atmosphère (en gardant la même source sonore).

Matériaux	Célérité du son (en m.s^-1)
Air	343
Eau	1 480
Glace	3 200
Verre	5 300
Acier	5 600 à 5 900
Plomb	1 200
Titane	4 950
PVC (souple)	2 000
PVC (rigide)	2 400
Béton	3 100
Hêtre	3 300
Granite	6 200
Péridotite	7 700
Sable sec	10 à 300

Il faut remarquer qu'on ne peut parler de vitesse du son dans le vide, puisqu'il n'y a aucune particule qui puisse servir de support aux ondes sonores.

Bibliographie

↑ François Bernier, Abrégé de la philosophie de Gassendi
↑ Abbé Nollet, Leçons de Physique Expérimentale
↑ Çengel Y., Boles, M., Thermodynamics - An Engineering Approach (sixth edition), McGrawHill, 2008. (ISBN 978-0-07-352921-9)

Michel Rival, Les grandes expériences scientifiques, dans le chapitre 1822 - Mesurer la vitesse du son, 1996 (ISBN 2-0202-2851-3)

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Le son dans la mer
Simulation pour différentes conditions, Université du Mans

Portail de la physique

[0] François Bernier, Abrégé de la philosophie de Gassendi

[1] Abbé Nollet, Leçons de Physique Expérimentale

[2] Çengel Y., Boles, M., Thermodynamics - An Engineering Approach (sixth edition), McGrawHill, 2008. (ISBN 978-0-07-352921-9)

[1]

[2]

[3]

Accueil

Portails thématiques

Index alphabétique

Un article au hasard

Catégories

Sélections

Aide

Vitesse du son

Sommaire

Définition

Historique

Vitesse du son dans un corps solide

Vitesse du son dans un fluide quelconque

Vitesse du son dans un liquide

Vitesse du son dans un gaz parfait

Influence des autres facteurs

Vitesse du son dans un gaz de van der Waals

Démonstrations

Fluides diphasiques

Table des propriétés de l'air en fonction de la température

Table des propriétés de l'air en fonction de l'altitude

Méthodes expérimentales

Exemples de vitesses du son pour différents matériaux

Bibliographie

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Vitesse du son . Wikipédia

Vitesse du son . TPE: Le Son

ANALYSEURS DE MASSE VOLUMIQUE ET DE VITESSE DU SON

People

Bourse

Actu : à la une